证明方法练习与巩固
使用穷举法证明：当 \(n\) 是整数且 \(1 \leq n \leq 6\) 时，\(m = n + 2\) 不能被10整除。
你可以尝试 \(1 \leq n \leq 6\) 中的每个整数，计算 \(m = n + 2\) 的值，然后验证这些值都不能被10整除。
1. 列出所有可能的 \(n\) 值：1, 2, 3, 4, 5, 6
2. 计算对应的 \(m\) 值：3, 4, 5, 6, 7, 8
3. 验证每个 \(m\) 值都不能被10整除
4. 得出结论
使用穷举法证明：2到26之间的每个奇数要么是质数，要么是两个质数的乘积。
首先列出2到26之间的所有奇数，然后逐一检查每个数是质数还是合数。如果是合数，验证它是否可以表示为两个质数的乘积。
1. 列出2到26之间的奇数：3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25
2. 识别质数：3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
3. 分析合数：9 = 3×3, 15 = 3×5, 21 = 3×7, 25 = 5×5
4. 验证所有合数都可以表示为两个质数的乘积
使用穷举法证明：从 \(1^2\) 到 \(8^2\) 的两个连续平方数的和是奇数。
列出从1到8的平方数，然后计算所有连续平方数对的和，验证这些和都是奇数。
1. 列出平方数：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64
2. 找出连续平方数对：(1,4), (4,9), (9,16), (16,25), (25,36), (36,49), (49,64)
3. 计算每对的和：5, 13, 25, 41, 61, 85, 113
4. 验证所有和都是奇数
使用穷举法证明：所有立方数要么是9的倍数，要么比9的倍数多1或少1。
（4分）
考虑整数除以3的余数情况。任何整数都可以表示为 \(3k\), \(3k+1\), 或 \(3k-1\) 的形式，其中 \(k\) 是整数。
1. 考虑整数 \(n\) 除以3的余数情况
2. 情况1：\(n = 3k\)，则 \(n^3 = 27k^3\) 是9的倍数
3. 情况2：\(n = 3k+1\)，则 \(n^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3 + 3k^2 + k) + 1\)
4. 情况3：\(n = 3k-1\)，则 \(n^3 = 27k^3 - 27k^2 + 9k - 1 = 9(3k^3 - 3k^2 + k) - 1\)
5. 所有情况都满足条件
找到反例来推翻以下陈述：
a) 如果 \(n\) 是正整数，那么 \(n^4 - n\) 能被4整除。
b) 整数总是有偶数个因数。
c) \(2n^2 - 6n + 1\) 对所有 \(n\) 的值都是正数。
d) \(2n^2 - 2n - 4\) 对所有整数值的 \(n\) 都是3的倍数。
对于每个陈述，尝试找到具体的数值，使得陈述不成立。注意要满足陈述中的条件。
a) 尝试 \(n = 2\)：\(2^4 - 2 = 16 - 2 = 14\)，14不能被4整除
b) 考虑 \(n = 4\)：4的因数是1, 2, 4，共3个（奇数个）
c) 尝试 \(n = 1\)：\(2(1)^2 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3 < 0\)
d) 尝试 \(n = 0\)：\(2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4\)，-4不是3的倍数
一个学生试图证明 \(x^3 + y^3 < (x + y)^3\)。学生写道：
\((x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)
这小于 \(x^3 + y^3\)，因为 \(3x^2y + 3xy^2 > 0\)
a) 识别证明中的错误。（1分）
b) 提供反例来证明陈述不成立。（2分）
仔细分析学生的推理过程，找出逻辑错误。然后构造一个具体的反例。
a) 错误：学生假设 \(3x^2y + 3xy^2 > 0\)，但这只在 \(x\) 和 \(y\) 同号时成立
b) 反例：\(x = -1\)，\(y = 2\)
\(x^3 + y^3 = (-1)^3 + 2^3 = -1 + 8 = 7\)
\((x + y)^3 = (-1 + 2)^3 = 1^3 = 1\)
\(7 > 1\)，所以 \(x^3 + y^3 > (x + y)^3\)
证明对于所有实数 \(x\)：
\[(x + 6)^2 \geq 2x + 11\]
（3分）
展开左边的平方，然后重新整理不等式，看看能否得到一个总是成立的表达式。
1. 展开：\((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\)
2. 不等式变为：\(x^2 + 12x + 36 \geq 2x + 11\)
3. 整理：\(x^2 + 10x + 25 \geq 0\)
4. 因式分解：\((x + 5)^2 \geq 0\)
5. 任何实数的平方都非负，所以不等式成立
给定 \(a\) 是正实数，证明：
\[a + \frac{1}{a} \geq 2\]
注意：记住要说明你如何使用 \(a\) 是正数这个条件。（2分）
考虑 \((a - 1)^2 \geq 0\)，然后利用 \(a > 0\) 的条件进行变形。
1. 考虑 \((a - 1)^2 \geq 0\)（任何实数的平方都非负）
2. 展开：\(a^2 - 2a + 1 \geq 0\)
3. 整理：\(a^2 + 1 \geq 2a\)
4. 由于 \(a > 0\)，两边同时除以 \(a\)：\(a + \frac{1}{a} \geq 2\)
5. 关键：\(a > 0\) 保证了除法操作不会改变不等号方向